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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 #)DFBE  
SMZ*  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. I/JHw&]c*  
.OK'I{HL"a  
　　1、三角函数本质： \^KD09E  
Kr-ia] `  
　　三角函数的本质来源于定义 m%!e_}  
d{ bg>wj  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 #)R|bXA4  
b.BHouka  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 a:)3T8o  
!,-:BTMa%  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： &Vk{R|"7mI  
8NmFg3#m  
　　推导： +xp|=T  
cC~?!u  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 . y 'Jvh  
9Oe_S4Qbi  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) LX)^N8  
l ~Z(5|1J  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) YSDDf  
y@ >q$  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 VZIlI !  
t=-[:d,F  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） *r{&P) q<z  
n]WK,PfpY  
　　[1] '8'2&mnN3  
Y.o}|zZq(  
　　两角和公式 Ss PUJ$*  
n/+ "?1y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB %zAQ/xrP  
EG%5@KQ=9  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  R;+~1?]Dp  
"Od),Q4r>  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Y{(kK#p^  
Fk)a=W8  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB I=} X&)\t.  
I4wJ0jSr   
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $vvnGg  
ih.y^} J  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Tfw 'Q  
hMr$_|b  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  yd3&4?  
,[95)o50  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) RKNb('  
A4Oo5S9  
倍角公式 A.UP64^8  
*'1%Tl*~  
　　Sin2A=2SinA•CosA y*oJ*n)  
; h-[qm\  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 `bp~ql  
QY.Df>  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） zEd~tYsZg  
v-!H !]\HY  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 52$Yk~<  
PUx5%Gg  
三倍角公式 =,6I!?LX  
JGJsX;>|z  
　　 qbJkW9  
2S'=}kH  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) U>`okor  
+:Rok)p6k  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) z041t~  
~HCaF9N;z?  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) E]d RSz  
M.70`uc`]  
三倍角公式推导 )/&t b  
/ hLOu   
　　sin3a FYK'%GDc  
m=wJ0zGqu0  
　　=sin(2a+a) &`JbDs;6  
K"}jW?vX6  
　　=sin2acosa+cos2asina ;J9Gq6a;$  
o@i0_GWvV  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina y1uA]  
~i$S4 k9  
　　=3sina-4sin³a u7`-pL:^  
mu\u*jK  
　　cos3a NdCTG4Tw  
8JMs  
　　=cos(2a+a) hY<H #8B1  
pO@y|ka3  
　　=cos2acosa-sin2asina 9Wm[-7I  
Tcr#gon1  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa DeQis8t B:  
OC5vS}  
　　=4cos³a-3cosa  m'[Q;;J  
W.o*-e\z  
　　sin3a=3sina-4sin³a qygt2@;w  
|+ozAIw  
　　=4sina(3/4-sin²a) Xocv!`Mn  
\H[c.=+4  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] !<GDi 2  
Pu;G;d  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) U_d2j  
^9l4a*~ Tg  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) "v*C+8-  
i9-:iDgxVr  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] s#*2[T?fp9  
J^AOn0HV2A  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) W:(`iug w  
8s=#wPw  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Lvo=KeSK  
{^rVGek-8  
　　=4cosa(cos²a-3/4) LhFX?2P2  
T7 H(q<u  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] BBUE`'  
ZtH>-Yy<  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) VaH`"R  
1{v&4K`U/  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) |`oz^*$;g  
<OJ5GUY }  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} v.XFvH :  
_e\Y 'ZR  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) qs-Aw-d  
+gHKXy=$G  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] WG1)/"LC  
`sn*l=3cy/  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Xf*etSN  
W y:D$&V  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) mR?_ TW S9  
W!@ LH-.3  
　　上述两式相比可得 hT.gfr@al  
%S~.,u+sD  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) k> En.q  
'f|ez3{  
半角公式 =%4'=p_pq  
NF@$#$3  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); k >We=ged  
y p0NQX  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $1!FtPb_  
t'1urfP4  
和差化积 u {K]U  
+{,9   
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '#[H H bG5  
*G@Cj\?z  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~K&[SZ)  
[4re ze+  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +\on~ i0&M  
2|o']  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] mM~=I-%  
+vk8=1K  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 9LD7#? UH  
T},x j  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) uPAM,  
'ZqNRU{  
积化和差 A I3ev6  
l^6H+eI  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] tnh`"{Zx  
dOSc.S  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 5h;bOl?n3  
aqF`}z2p'  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Q )dkLkQ  
H[&<q9Tj  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ^<Pi8>,a  
 {p@`>! 1  
诱导公式 5-Anos0BO  
QbA  
　　sin(-α) = -sinα OG-W* a"  
T*su$=  
　　cos(-α) = cosα N&(hYEG  
b9t,YDfh  
　　sin(π/2-α) = cosα v-0Y=>`  
EOyv^>  
　　cos(π/2-α) = sinα Y^2)%Jq  
J`v e!h_%U  
　　sin(π/2+α) = cosα gYA9!m^o>  
w1lQ<I/5E  
　　cos(π/2+α) = -sinα BqP+[yXa  
9")IlEi)  
　　sin(π-α) = sinα 7(p2ux  
*-T2l9M\f  
　　cos(π-α) = -cosα t4-S >Q3p  
:h@_yj [Gf  
　　sin(π+α) = -sinα N!n+H)ZdQ  
9Cm>aqmu  
　　cos(π+α) = -cosα &uyuM~b  
#u_)HB3zx  
　　tanA= sinA/cosA l4 @e5<36M  
SpL}c.  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 2k9wo`0'x  
*7Qbjo`$  
　　tan（π/2－α）＝cotα \$!7\IP   
+ _#Mc$e5j  
　　tan（π－α）＝－tanα @@}\~ qG<  
*cURr!]|  
　　tan（π＋α）＝tanα m3=.(eM  
UPhCnO  
万能公式 fn7pYucK+  
-a,"mgIos  
　　 4>=214  
p0dVAa  
其它公式 } |t%C;  
Y61g J3x>  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 X\^U(K{,  
D9F'BoA>m}  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 }l9 y;=x  
Y*O>/K]>md  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 JBS+&d9r3  
pu!@q3 I`1  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 6As3VQas  
Lh}`UaKm3'  
　　对于任意非直角三角形,总有 4M1lgRMLS  
uUP6.!>R\  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Fuxjy$pRf  
]zr6Rd=^  
　　证: Q ;HH'  
@ 5hj:  
　　A+B=π-C {1#qgh  
El> O507@  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 1Gz^VXJ  
)xpd6w@>  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) P6{$H,"\d  
zrwejv*  
　　整理可得 1Y|4vGNA  
2tbU ]  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zRhchE  
oe1.Nm1  
　　得证 )w{Sh8;$  
|0w5p8Rw  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 90Y$ D)B  
tm\? Mj  
其他非重点三角函数 h87Ew|  
&Ek?D2+  
　　csc(a) = 1/sin(a) !HlZQ&  
_#{Ny`lQlQ  
　　sec(a) = 1/cos(a) j!:cY;ri  
\D6#~  
　　 aXG?$qXw)  
  _oS)5  
双曲函数 vk}QdO|eGG  
 @jPcULv  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 n&Dhgou+  
rw}Va(?  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 h|o?/IUE  
W$fH:Rm?  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 5}#] tqk  
jS8~eu(I  
　　公式一： ;gi@#Lsft  
-A1/ hM  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Mjz/D$:a"  
 (Q%U#B  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 6Ddz'olo  
l-@0esiV  
　　cos（2kπ＋α）= cosα %m{a1c?  
<KILrHv7Q|  
　　tan（kπ＋α）= tanα Ke[R95Bhm  
W<#p_  
　　cot（kπ＋α）= cotα ]^~o-3!0  
#~?_d6@{  
　　公式二： w_7V"lYR@  
(T^Z3wR  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ]$o!N2  
ik`>WNgxL  
　　sin（π＋α）= -sinα U) m4,5   
-Q"$n/w.#  
　　cos（π＋α）= -cosα *U?gIx N  
tC)" QAAB  
　　tan（π＋α）= tanα qRwyMy1*  
>dYp+Sc  
　　cot（π＋α）= cotα 2g@ fz*9J  
j18w?-TvP  
　　公式三： jG=KHOG_  
(lYCTPTz  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： )7jl~Yo1  
{\~Zzn:6y  
　　sin（-α）= -sinα q4w %,Cc  
1&(zk%#  
　　cos（-α）= cosα 4\pVgt!  
"a9+ 1;*  
　　tan（-α）= -tanα  7<8k  
i ".F  
　　cot（-α）= -cotα ,En`X+os3$  
~%-wo#(aB  
　　公式四： I]:%+NQ*<`  
Jl2#[  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 2RFCuGba  
P4m"?|W  
　　sin（π-α）= sinα PMX|U8[?  
z.aVZ,6#  
　　cos（π-α）= -cosα V1D3t4A8  
#x{Xke>v1  
　　tan（π-α）= -tanα Q#{\u#n  
_p[rL8kr`  
　　cot（π-α）= -cotα EeRxr) 7m  
aQQabThN@  
　　公式五： G * PQ8  
&InWr2igG  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： yqp}+k|O  
k9W<dZ R  
　　sin（2π-α）= -sinα m I A0!  
,'N/9DR!wY  
　　cos（2π-α）= cosα sSt{?Vf  
Hbi'gg  
　　tan（2π-α）= -tanα i *!kZ=  
su)X*y~_8  
　　cot（2π-α）= -cotα 9]:tB '7V  
+a Fla=  
　　公式六： Kohv?bcUD%  
CPV&z $p  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： %.?Y|0  
~VP!fIt  
　　sin（π/2+α）= cosα  _S?"}"4  
I?|\2TiT  
　　cos（π/2+α）= -sinα _>%R!jxG  
3r6D{17H  
　　tan（π/2+α）= -cotα &:rRf0  
]mmDm9~O  
　　cot（π/2+α）= -tanα Y&_H~M F  
tB[{!nV  
　　sin（π/2-α）= cosα ~e.L 5 4  
^%s)%hR,0  
　　cos（π/2-α）= sinα 407-;sY{>  
lhN/;h A  
　　tan（π/2-α）= cotα Rk x/"'_n  
NS1 [O7%T  
　　cot（π/2-α）= tanα X.+|U <#*  
.UWc4I6PA_  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8~)De ~*f@  
P_$A\ Msj  
　　cos（3π/2+α）= sinα ]MLD2JU  
 *5Qn"  
　　tan（3π/2+α）= -cotα bk<E}C e  
v_R#nP@  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Z'#18=T  
P?g<]+T  
　　sin（3π/2-α）= -cosα o|Y_4O7+y  
shP9O^aL_2  
　　cos（3π/2-α）= -sinα v-r3`Hs}vy  
@|+DSEPP;[  
　　tan（3π/2-α）= cotα bGzgUdHYCz  
j=p5$H3=  
　　cot（3π/2-α）= tanα ^G^jCHQ=  
 I2.$#T  
　　(以上k∈Z) ~NE@i'9{1  
x2#E]  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .K @jHB^W  
8I5,uZ9w2  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = %q){R  
QTh ,V=  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f"pLHx' :F  
Q=wXJzn^  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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